Ein Meßgerät für Induktivitäten und Kapazitäten mit einem Atmel ATMega163 Microcontroller (LC-Meter)

Vor einiger Zeit hat mich die Frage eingeholt, wie groß denn wohl die Induktivität einer unbekannten Spule ist. Oder etwas genauer gefragt: wie groß ist der Kopplungsfaktor zweier Wicklungen auf einem Ringkern, den ich als Balun von 50 Ohm unsymmetrisch auf 50 Ohm symmetrisch benutzen wollte.

Dazu kann man die zwei Wicklungen auf dem Ringkern (im Bild sind es tatsächlich drei Wicklungen; die gerade nicht betrachtete Wicklung kann jeweils ignoriert werden) wie die zwei Wicklungen eines Transformators betrachten. Ich nenne sie daher auch Primär- und Sekundärwicklung. Selbst dann, wenn wie in meinem Fall, Primär- und Sekundärwicklung gleichartig aufgebaut sind, und sie vertauschbar sind.

Um nun den Kopplungsfaktor zwischen zwei Wicklungen, die sich auf einem Wickelkörper befinden, zu bestimmen, lautet eine mögliche Meßvorschrift wie folgt:

1.1 Erste Messung: Serienschaltung der Induktivitäten

Messe die Induktivität, wenn die Primärwicklung und die Sekundärwicklung in Reihe geschaltet sind. Diesen Wert nennen wir L_x. Das heißt, der Anfang der Primärwicklung wird mit dem einen Anschluß des Induktivitätsmeßgerätes verbunden. Das Ende der Primärwicklung wird mit dem Anfang der Sekundärwicklung verbunden. Das verbliebene Ende der Sekundärwicklung verbindet man mit dem anderen Pol des Meßgerätes. Wenn Primär und Sekundärwicklung gleichartig aufgebaut sind, so ist die Induktivität der Reihenschaltung etwa das vierfache einer einzelnen Wicklung, da die Induktivität proportional zum Quadrat der Windungszahl ist: Doppelte Windungszahl, vierfache Induktivität; dreifache Windungszahl, neunfache Induktivität; usw. Diese Aussage gilt natürlich nur bei starker Kopplung, wie sie in Transformatoren und auf meinem Ringkern zu erwarten ist. Bei sehr schwacher Kopplung würden sich die Induktivitäten der beiden Wicklungen einfach addieren. Das wäre beispielsweise bei zwei Festinduktivitäten oder bei zwei Spulen, die genügend weit voneinander entfernt sind, der Fall. In der Praxis wird man viele Fälle finden, bei denen die Gesamtinduktivität zwischen der doppelten (keine Kopplung) und der vierfachen Induktivität (perfekte Kopplung) liegt.

1.2 Zweite Messung: Anti-Serienschaltung der Induktivitäten

Messe die Induktivität, wenn gegenüber der ersten Messung eine der beiden Wicklungen umgepolt wird. Diesen Wert nennen wir L_y. Bei starker Kopplung und ansonsten gleichartigen Wicklungen erhält man das, was man eine bifilar gewickelte Spule bezeichnet. Die Konsequenz ist, daß die resultierende Induktivität nahe bei Null liegt. Zumindest ist sie sehr klein verglichen mit den Induktivitäten der einzelnen Wicklungen. Wenn gar keine Kopplung vorliegt, dann addieren sich ebenfalls die einzelnen Induktivitäten. Genauso, als ob man zwei Festinduktivitäten auf dem Labortisch liegen hat, die in Reihe geschaltet sind, und von denen man eine umpolt. Die Gesamtinduktivität ändert sich nicht.

1.3 Auswertung

Aus der Messung der Induktivität für die Serienschaltung L_x und der Induktivität für die 'Anti-Serienschaltung' L_y sowie der Messung der einzelnen Induktivitäten L₁ und L₂ kann der Kopplungsfaktor k wie folgt ermittelt werden:

Kennt man übrigens den Kopplungsfaktor k, so läßt sich die Gegeninduktivität M wie folgt berechnen:

Wenn man zwei Induktivitäten hat, für die L₁=L₂ ist und die nicht gekoppelt sind (z.b. jede Induktivität auf einem eigenen Ringkern), dann ist L_x=L_y und somit k=0 und M=0. Befinden sich dagegen diese zwei gleichen Induktivitäten gemeinsam auf einem Ringkern - was eine sehr starke Kopplung bewirkt - dann ist L_x=4L₁=4L₂ und L_y=0. Durch einsetzen in die erste Gleichung erhält man k=1 und somit M=L₁=L₂. Je nach Konstruktion kann man losere Kopplungen (zwei Luftspulen ein einem gewissen Abstand) oder festere Kopplungen (ein Netztransformator) erhalten. Man kann die Kopplung als ein Maß verstehen, das angibt, wie stark das Magnetfeld der einen Induktivität das Innere der jeweils anderen Induktivität durchdringt.

Weitere Anwendungen zum LC-Meter werden hier vorgestellt.

Da ich gerade kein Induktivitätsmeßgerät zur Hand hatte, habe ich mir eins gebaut. Na ja ... es ist ein kleines Projekt draus geworden. Im Web findet man natürlich immer Anregungen. Und letztlich unterscheidet sich meine Lösung nicht fundamental von der Lösung in [1].

Grundsätzlich wird (zumindest in meinem Projekt) die Bestimmung der Induktivität L auf die Frequenzmessung eines freischwingenden Oszillators zurückgeführt, wobei die Thomsonsche Schwingungsformel

die Frequenz f oder die Kreisfrequenz ω mit der unbekannten Induktivität L und der bekannten Kapazität C des Schwingkreises verknüpft.

Eine alternativer Ansatz besteht aus einem Oszillator, der lose an den Schwingkreis gekoppelt ist, der wiederum die zu messende Induktivität L enthält. Gemessen wird die Spannung U(f) über dem Schwingkreis in Abhängigkeit von der Frequenz f. Stimmt die Frequenz des Oszillators mit der Eigenfrequenz des Schwingkreises überein, so ist die Spannung maximal. Die Induktivität wird auch hier über die Thomsonsche Schwingungsformel errechnet. Letzten Endes handelt es sich hier direkt um die Aufnahme der Resonanzkurve.

Eine dritte Variante beruht auf der Wheatstone'schen Wechselstrom-Brücke. Ich möchte sie hier nicht weiter betrachten.

Aus diesen Vorbemerkungen ergeben sich folgende Anforderunge

1. Das LC-Meßgerät muß sowohl sehr kleine Induktivitäten (kleiner 1 μH) als auch sehr große Induktivitäten (nicht unter 100 mH) messen können.
2. Das LC-Meßgerät muß in der Lage sein, Kapazitäten aufgrund des Layouts und des Oszillators zu ermitteln und bei der Berechung der Induktivität zu berücksichtigen. Diese Forderung ist gleichbedeutend mit dem Wunsch, auch unbekannte Kapazitäten messen zu können.
3. Eine zum vorigen Punkt verwandte Forderung ist, daß eine Induktivität bereits einen Kondensator parallel geschaltet haben darf, der die L-Messung nicht beeinträchtigt.
4. Idealerweise sollte die Induktivitätsmessung direkt oder indirekt auf eine Widerstandsmessung zurückgeführt werden. Grund ist vor allem, daß man nicht an jeder Straßenecke Induktivitäten mit geringer Toleranz und hoher Langzeitstabilität beschaffen kann. Bei Kondensatoren ist die Situation schon besser - Kondensatoren mit 2,5% Toleranz sind durchaus im einschlägigen Versandhandel erhältlich. Noch geringere Toleranzen sind bei Widerständen möglich - vor allem, wenn sie für Meßzwecke ausgelegt wurden (0,1%).

Das LC-Meßgerät besteht aus folgenden Baublöcken:

• LC-Oszillator mit LM311 ([5])
• Monostabiler Multivibrator mit NE555 ode LM555 ([6])
• Atmel ATMega163 RISC-Prozessor ([2])
• LC-Display
• Bedienelemente

Die wesentliche Baugruppe ist der freischwingende LC-Oszillator. Sein frequenzbestimmender Schwingkreis besteht aus der zu messenden Induktivität L und der Kapazität C, die als bekannt angenommen wird. Als aktives Bauelement findet der Komparator LM311 Verwendung.

Nicht minder wichtig ist der Micro-Controller ATMega163 von Atmel. Der ATMega163 ist zwar mittlerweile veraltet und kann leicht durch einen ATMega16 oder, falls nötig, durch den größeren ATMega32 oder deren Nachfolger ersetzt werden. Ich hatte einen 163er noch in der Schublade gehabt und wollte ihn in diesem Projekt einem sinnvollen Verwendungszweck zuführen. Der ATMega163 enthält eine Reihe verschiedener peripherer Komponenten, von denen neben den klassischen I/O-Ports die drei kombinierten Timer und Counter für das LC-Meter mit die wichtigsten sind.

Das LC-Display dient als Ausgabemedium. Im Prototyp wir ein vierzeiliges Exemplar eingesetzt. Für die tägliche Anwendung dürfte wohl ein zweizeiliges Display vollkommen ausreichen.

Bedient wird das LC-Meter mittels einiger weniger Taster. Neben einem Taster, der die Hintergrundbeleuchtung des LCD schaltet, gibt es einen weiteren, der den Meßmodus (L-Messung, C-Messung über den Oszillator, C-Messung mit dem NE555) bestimmt.

Abschließend gibt es noch den monostabilen Multivibrator, der mit einem NE555 aufgebaut ist. Er dient dazu, die Kapazität über die Zeit, die benötigt wird, einen Kondensator über einen Widerstand aufzuladen, zu ermitteln. Hier steht die Idee im Vordergrund, die Kapazitätsmessung, wie eingangs gefordert, auf eine Widerstandsmessung zurückzuführen.

Die folgenden Bilder zeigen den Schaltplan, der auf vier Seiten verteilt ist, sowie das Layout der Platine. Schaltplan und Platine liegen auch als Eagle-Files vor ([3],[4]).

Auf den ersten Blick mag dieses Kapitel überflüssig erscheinen. Was gibt es schon großartiges über Induktivitäten zu bemerken? Eine Induktivität ist durch ihren Wert, angegeben in μH, mH oder gar H doch ausreichend charakterisiert? Daß dem nicht so ist, sieht man allein schon daran, daß eine Induktivität aus Draht aufgebaut ist. Drähte, auch Kupferdrähte, haben einen nicht verschwindenden Widerstand. Beispielsweise hat eine handelsübliche Festinduktivität für 1 mH einen Widerstand von 14 Ω. Widerstände sind ein Maß für Verluste. Auch das Kernmaterial wird für Verluste sorgen und so für eine weitere Erhöhung der ohmschen Anteile. Weiterhin haben Induktivitäten Anschlußdrähte. Diese, und seien sie auch noch so klein (SMD), haben eine nichtverschwindende Kapazität. Auch abhängig vom Spulenaufbau können weitere kapazitive Anteile hinzukommen. Man könnte das Spiel sogar noch weiter treiben und jedem Paar aus benachbarten Windungen eine Kapazität zuschreiben. Abschließend sei bemerkt, daß vor allem die parasitären Beiträge auch noch frequenzabhängig sein können. Vor allem die Eigenschaften des verwendeten Kernmaterials können eine Ursache dafür sein. Oder auch der Skin-Effekt, der bei zunehmender Frequenz den Strom nur noch in der Nähe der Oberfläche des Drahtes fließen läßt, ist naturgemäß frequenzabhängig.

Wenn man ein Induktivitätsmeßgerät baut, dann muß man sich selbst darüber im klaren sein, welche parasitären Anteile der Spule man bei der Messung neben der primär zu messenden Induktivität darüber hinaus noch berücksichtigen will. Im einfachsten Fall würde man sowohl die ohmschen Verlustwiderstände als auch jegliche Form der Parallelkapazitäten vernachlässigen. Des weiteren würde man alle Größen als frequenzunabhängig annehmen. Eine etwas realistischere Betrachtung wäre, daß man zusätzlich zur Induktivität die Parallelkapazität versucht zu ermitteln. Dieser Weg soll im weiteren Verlauf auch beschrieben werden.

Übrigens für Kapazitäten kann man analoge Betrachtungen durchführen. Die Zuleitungen liefern einen Beitrag zur Serieninduktivität und die endliche Leitfähigkeit sowie (frequenzabhängige) Verluste im Dielektrikum tragen zu einem Verlustwiderstand bei.

Wie bereits in der Einführung angedeutet, beruht die Messung einer Induktivität L auf der Messung der Frequenz f bzw der Kreisfrequenz ω eines Schwingkreises bestehend aus L und C. Die Thomsonschen Schwingungsformel verknüpft diese Größen gemäß:

Sind zwei Größen der Gleichung bekannt, so kann die dritte daraus berechnet werden. Für ein Induktivitätsmessgerät wäre ein gängiges Vorgehen, die Frequenz f zu messen und die Kapazität C als bekannt vorauszusetzen. Beispielsweise könnte man einen Kondensator mit genügend genau bekannter Kapazität in den Schwingkreis einbauen. Dann kann L leicht gemäß

berechnet werden. In dem hier diskutierten Induktivitätsmeßgerät wird prinzipiell genau so vorgegangen. In der Praxis hat man jedoch mit verschiedenen Schwierigkeiten zu rechnen:

• Sehr kleine Induktivitäten bedingen sehr hohe Frequenzen, die sowohl den LM311 als auch den ATMega163 überfordern.
• Induktivitäten haben, abhängig vom Wicklungsaufbau, parasitäre Kapazitäten.
• Der Aufbau der Schaltung und die Leiterbahnführung sind nicht ohne zusätzliche und unbekannte Kapazitäten realisierbar.
• Der im Rückkopplungszweig angeordnete LM311 hat eingangsseitig eine unbekannte, aber nicht verschwindende Kapazität.

Anhand des folgenden Schaltbildes, das ein Auszug aus dem Schaltplan - Teil 2 (LC-Oszillator) ist, werden die weiteren Einzelheiten diskutiert.

Die unbekannte Induktivität L_x wird an die Klemmen X3 und X4 angeschlossen. Damit ist sie in Serie zu L₃ angeordnet. C₁₃ ergänzt die Schaltung zu einem vollständigen Schwingkreis. Hinweis: Der Schalter K1 dient hier zur Überbrückung von L₃, während er im Schaltplan noch dazu dient, den 330 pF Kondensator zu schalten. Dieser Kondensator wird jetzt über K2 geschaltet. K8 wird nicht weiter berücksichtigt.

Um die hohen Frequenzen zu vermeiden, die sich aus sehr kleinen zu messenden Induktivitäten ergeben, kann man einerseits die Kreiskapazität erhöhen oder andererseits die Induktivität erhöhen, indem man eine weitere Induktivität L₃ zur unbekannten und zu messenden Induktivität L_x in Reihe schaltet: L = L₃ + L_x. Generell gilt als Daumenregel, daß das Verhältnis aus L und C eher groß als klein sein soll. Es ist also ratsamer L zu vergrößern statt C. Wie ein Blick auf den Schaltplan beweist, wurde genau diese zweite Möglichkeit realisiert - genauso wie in der Vorlage ([1]). Ist L_x = 0 (oder zumindest sehr viel kleiner als L₃) so hat der Schwingkreis, der jetzt nur noch aus L₃ und C₁₃ besteht, eine Eigenfrequenz von rund 1 MHz. Selbst ein sehr kleines L_x kann die Frequenz nur noch erniedrigen.

5.1 Meßvorschrift 1

Zunächst wollen wir L₃ nicht berücksichtigen und es mittels K1 kurzschließen, was zur Konsequenz hat, daß L_x nicht wesentlich kleiner als 50 μH sein darf, damit die obere Frequenzgrenze des Oszillators und des ATMega163 nicht überschritten wird. Weiterhin wollen wir annehmen, daß L_x eine parasitäre Parallelkapazität haben kann. Schließlich müssen wir sogar annehmen, daß der Schaltungsaufbau selber einen weiteren unbekannten kapazitiven Beitrag zum gesamten Schwingkreis liefern wird. Diese parasitäre Kapazität von L_x und die Kapazität aus dem Schaltungsaufbau fassen wir unter C_y zusammen. Man sieht sofort, daß zwei Größen zu bestimmen sind: primär L_x und als Dreingabe C_y. Da liegt einem doch sofort der Satz "zwei Gleichungen - zwei Unbekannte" auf der Zunge. Welches sind nun die zwei Gleichungen? Da wir Schwingkreise betrachten, müssen die beiden Gleichungen, die wir benötigen, auf die Thomsonsche Schwingungsformel zurückzuführen sein. Wir können leicht dadurch zwei Gleichungen erzielen, indem wir zwei Messungen durchführen und bei der zweiten Messung ein Bauteil in den Schwingkreis einführen, dessen Wert wir genau kennen. C₁₃ bietet sich sofort an, weil dieser Kondensator über K2 zugeschaltet werden kann.

Die Herleitung ist hier noch ein wenig detaillierter dargestellt. Die Formeln sind nicht zu komplex und lassen sich leicht auch für einen Microcontroller realisieren. Im folgenden werden ein paar Meßergebnisse gezeigt, die die prinzipielle Tauglichkeit dieses Ansatzes belegen.

Die Nummern, zu denen es keine Messungen gibt, konnten hier noch nicht durchgeführt werden, weil die Induktivitäten mit wenigen 10 μH zu gering waren. Der Oszillator ist garnicht erst angeschwungen. Was man erkennt, ist, daß die Werte der bekannten Induktivitäten sich gut reproduzieren lassen. Die Kapazität der gesamten Meßanodnung dürfte bei rund 30 pF liegen, wie die Messung der einlagigen Zylinderspule, die von hause aus kapazitätsarm ist, belegt. Eine Zusatzkapazität von 470 pF wird auch ziemlich korrekt ermittelt (Messungen 6 und 8). Die Langwellenspule ist ebenfalls recht kapazitätsarm, während der Trafo eine schon recht hohe Kapazität aufweist.

Als Schmankerl sei noch folgendes erwähnt: Selektiert man aus einer größeren Menge von Festinduktivitäten zwei Stück, deren gemessene Induktivitäten L_x und gemessene Kapazitäten C_y möglichst gleich sind, so kann man beide Induktivitäten dann in Reihe schalten und erneut messen. Die gemessene Induktivität wird sich dann verdoppeln während der gemessene Wert von C_y sinken wird, weil die parasitären Kapazitäten der beiden Induktivitäten jetz in Reihe geschaltet sind und sie sich somit halbieren. Das doppelte der Differenz der beiden C_y-Werte ist die parasitäre Kapazität einer Induktivität. Der Versuch, dies mit der 47 μH-Festinduktivität durchzuführen ergab eine parasitäre Kapazität von etwa 15 pF. Das heißt, in Messung 6 gehen 15 von den 45,4 pF auf das Konto der Induktivität und rund 30 pF stammen vom Schaltungsaufbau. Auch das ist im Einklang mit den Ergebnissen der kapazitätsarmen Spulen.

5.2 Meßvorschrift 2

Jetzt möchten wir auch kleine Induktivitäten messen und dazu ist es notwendig L₃ der unbekannten Induktivität L_x in Reihe zu schalten. Daraus ergibt sich die einfachste Meßvorschrift: Der Schwingkreis besteht nur aus L_x, L₃ und C₁₃. Die Bauteile werden als ideal betrachtet, die Bauteilewerte von L₃ und C₁₃ werden als exakt angenommen, die Einflüsse der Leiterbahnen werden vernachlässigt und der Einfluß des LM311 auf die Schwingfrequenz wird ebenfalls vernachlässigt. C_y ist also null. Dann läßt sich L_x aus der gemessenen Frequenz f₁, deren Meßfehler ebenfalls vernachlässigt werden kann, wie folgt berechnen:

Ein Anfang ist gemacht. Aber diese Lösung ernsthaft weiter zu vefolgen, lohnt nicht. Unter realen Bedingungen werden zumindest die Werte der verwendeten Bauteile C₁₃ und L₃ eine nichtverschwindende Toleranz aufweisen. Leicht (für den Bastler) beschaffbare Kondensatoren lassen sich bis auf weinige Prozent genau fertigen; bei Induktivitäten liegen die Toleranzen kaum unter 10%. Ganz grob kann man daraus schließen, daß gemessene Induktivitäten von 5 μH oder weniger einen Fehler von mindestens 100% aufweisen werden. Die Messung ist dann praktisch wertlos. Je kleiner also L_x ist, desto größer ist der Einfluß des Fehlers von L₃ auf den Meßwert. Der Fehler von C₁₃ spielt dann nur noch eine untergeordnete Rolle. Umgekehrt - je größer L_x ist desto geringer ist der Einfluß von L₃ auf das Meßergebnis. Dann dominiert nur noch der Fehler von C₁₃. Da C_y hier nicht berücksichtigt wird, wollen wir uns mit dieser Meßvorschrift nicht weiter befassen und uns gleich der nächste Meßvorschrift zuwenden, die zeigt, wie man zunächst den Fehler von L₃ eliminieren kann.

5.3 Meßvorschrift 3

Diese Meßvorschrift eliminiert die Toleranz der Induktivität L₃, indem zwei Messungen durchgeführt werden wobei im einen Fall L_x am Schwingkreis beteiligt ist während im anderen Fall L_x kurzgeschlossen ist und damit 0 ist. Der Schalter K7 dient dazu, die unbekannte Induktivität L_x zu überbrücken. Die erste Messung wird also gemäß der Meßvorschrift 2 durchgeführt wobei K7 offen ist. Sie lefert die Frequenz f₁ die zum Schwingkreis bestehend aus L_x, L₃ und C₁₃ gehört. Die zweite Messung liefert die Frequenz f₂, die zu einem Schwingkreis gehört, der nur aus L₃ und C₁₃ besteht. Daraus kann L₃ leicht berechnet werden. Dieser Schwingkreis hat natürlich eine höhere Resonanzfrequenz als derjenige, der bei der Messung von f₁ benutzt wurde. Also f₂ > f₁.

Der Wert von L₃ tritt, nachdem L₃ in die untere Gleichung eingestzt wurde, nicht mehr auf und kann somit auch keinen Beitrag mehr zum Fehler leisten. Bleibt immer noch C_y, das für kleine Induktivitäten nicht berücksichtigt wurde. Die folgende Meßvorschrift 4a und alternativ 4b zeigen einen Weg, auch eine Aussage über C_y zu erhalten.

5.4 Meßvorschrift 4a

Jetzt wird zusätzlich noch eine dritte Messung durchgeführt. f₁ und f₂ bestimmen sich wie oben. f₃ wird gemessen während L_x kurzgeschlossen ist, und C₁₅ über K2 zugeschaltet ist. Insgesamt liegen damit drei Gleichungen vor mit den drei Unbekannten L_x, L₃ und C_y. Es gäbe sogar noch eine vierte Möglichkeit zu messen: nämlich bei offenem K7 und geschlossenem K2. Dies würde jedoch zu einem Überbestimmten Gleichungssystem führen, das normalerweise nicht lösbar ist, sondern nur im Sinne eines geringsten Fehlers - nicht unmöglich, aber ich habe das nicht weiter betrachtet. Was aber leicht geht, ist diese vierte Messung trotzdem durchzuführen und die Ergebnisse dann für L_x zu vergleichen. Abweichungen deuten dann auf Besonderheiten der unbekannten Induktivität L_x hin. Siehe auch 5.5.

Interessant ist natürlich die dritte Gleichung, die die drei gemessenen Frequenzen f₁, f₂ und f₃ sowie der Kapazität C₁₅ mit der Induktivität L_x in Beziehung setzt. Die anderen beiden Gleichungen wurden nur der Vollständigkeit halber angegeben. In Einzelfall mag es durchaus interessant sein, C_y zu bestimmen, denn dieser Wert sagt ja etwas über die parasitären Kapazitäten des Aufbaus aus. Für C₁₃ ist tatsächlich der aufgedruckte Wert einzusetzten. Die Toleranz wurde ja C_y zugeschlagen. Auch L₃ läßt sich aus den drei gemessenen Frequenzen und C₁₅ ermitteln. Da jetzt alle Werte nur noch von den Frequenzen und C₁₅ abhängen, kann man folgern, daß man sich diesen Kondensator mit der niedrigsten Toleranz und möglichst auch mit einer hohen Langzeitstabilität beschaffen soll. Außerdem soll seine Einbindung in das gesamte Layout so wenig wie möglich weitere parasitäre Kapazitäten beisteuern. Hier gilt es alle Leiterbahnen so kurz wie möglich auszuführen. Bei einem Kondensator mit 330pF und einer Toleranz von 2,5% bedeuten 8pF Aufbau- und Leiterbahnkapazitäten einen erheblichen Verlust an Genauigkeit. Andererseits hoffe ich, daß es mir gelungen ist, deutlich unter den 8 pF zu liegen.

Die mit dem Prototypen durchgeführten Messungen gemäß Vorschrift 4a ergaben folgende Ergebnisse:

Bei allen Messungen fällt auf, daß die Werte von L₃ und C_y kaum variieren. Auf den ersten Blick ein gutes Zeichen. Aber der Vergleich mit den Messungen aus 5.1 liefert Widersprüche. Die Induktivitäten der Bauteile mit hoher Parallelkapazität (Messung 4 und 8) liefern einen zu hohen Wert für L_x und zu kleine Werte für C_y. Betrachtet man insbesondere die Messung 8, So fällt auf, daß die Parallelkapazität zu L_x sich ausschließlich auf den Wert der Induktivität von L_x auswirkt und nicht, wie erwartet, als Erhöhung des Wertes von C_y. Schaltet man jedoch die 470 pF parallel zu C₁₃, so wird für C_y ein Wert von 522 pF ermittelt, was ein durchaus vernünftiger Wert ist. Diese Messung zeigt, daß die gewählte Konfiguration nicht dazu geeignet ist, Parallelkapazitäten zu L_x richtig zu ermitteln. Diese Konfiguration liefert also nur dann vernünftige Resultate, wenn L_x eine ideale (oder doch zumindest kapazitätsarme) Induktivität ist. Letzten Endes ist das aber nicht verwunderlich, denn der Schwingkreis hat hier ein viel komplizierteren Aufbau. L_x bildet mit seiner parasitären Kapazität, die nur ein Teil von C_y ist, bereits einen Schwingkreis, dem in Reihe die Induktivität L₃ geschaltet ist. Dieser Anordnung sind dann noch die Kapazitäten C₁₃, C₁₅, und die schaltungsbedingten Anteile von C_y parallelgeschaltet.

Messung 9 liefert einen negativen Wert. Das kann immer mal wieder passieren, wenn sehr große, fast gleiche Zahlen voneinander subtrahiert werden. Möglicherweise führt das Schließen von K7 zu einer Erhöhung parasitärer Kapazitäten, die die Reduzierung der Induktivität L_x überkompensiert.

5.5 Meßvorschrift 4b

Wie bereits bei der Meßvorschrift 4a (5.4) angedeutet, gibt es noch eine weitere, die sich in der Ausführung der dritten Messung unterscheidet. Alternativ wird ausgehend von der ersten Messung, bei der L_x nicht kurzgeschlossen ist, C₁₅ zugeschaltet und dabei f₄ gemessen. Es sind also alle Bauteile am Schwingkreis beteiligt, während in der Meßvorschrift 4a die unbekannte Induktivität L_x ja kurzgeschlossen und somit nicht wirksam war. Das Ergebnis ist der folgende Satz von Gleichungen:

Es fällt auf, daß die Gleichungen strukturell sehr ähnlich aussehen. Natürlich müssen die beiden Meßvorschriften 4a und 4b zum selben Ergebnis für alle drei Größen L₃, C_y und L_x führen. In der Realität werden sie das jedoch nicht tun. Wir werden zufrieden sein, wenn die drei Größen nicht zu sehr voneinander abweichen. Vor allem L_x sollte zwischen beiden Varianten weniger variieren, als es der Meßfehler vermuten läßt. Wenn L_x keine parasitären Kapazitäten hat, dann werden die Ergebnisse konsistent sein. Hat L_x aber z.B. sogar einen Kondensator parallel geschaltet, dann werden die Messungen massiv abweichen. Das kann beispielsweise auch dann passieren, wenn die zu messende Spule gar keinen Kondensator eingebaut hat. Entweder sie hat dann einen Wicklungsaufbau, der zu einer hohen Kapazität führt, oder es handelt sich um einen Transformator mit großem Übersetzungsverhältnis. Mißt man auf der Seite mit der geringen Windungszahl (Primärseite, n₁ Windungen), dann werden die Wicklungskapazitäten (oder sogar eine echte angeschlossene Kapazität) der Spule mit der hohen Windungszahl (Sekundärseite, n₂ Windungen) so transformiert daß sie um den Faktor ü² an der Primärspule erscheinen. ü ist das Windungsverhältnis der Sekundärspule und der Primärspule.

Das Problem mit den Kapazitäten der zu messenden Induktivität ist, daß sie nicht parallel zum gesamten Schwingkreis bestehend aus L_x und L₃ liegen, sondern nur parallel zu L_x, was ja seinerseits nur ein Teil der gesamten Induktivität des Schwingkreises ist. Das gesamte Gebilde ist dann jedenfalls kein einfacher Schwingkreis mehr.

Die Messungen nach der Meßvorschrift 4ahaben ja schon gezeigt, daß die Ergebnisse mir Vorsicht zu genießen sind. Trotzdem wurden die Messungen mit den selben Bauteilen in der Variante 4b wiederholt. Nachfolgend die Ergebnisse.

Im Vergleich zu den Messungen in 5.4 fällt hier auf, daß L₃ und vor allem C_y stärker variieren. Das ist ein Indiz dafür, daß parasitäre Kapazitäten von L_x vorhanden sind und sie sich unterschiedlich stark auf L₃ und C_y auswirken. Messung 8 mit der absichtlich zugefügten Kapazität und Messung 4 mit dem Transformator zeigen dies deutlich. Die gemessene Induktivität fällt kleiner aus, während ein Teil der Parallelkapazität jetzt bei C_y zu finden ist. Schaltet man bei Messung 8 jedoch die 470 pF wieder parallel zu C₁₃, so wird für C_y ein Wert von 511 pF ermittelt, was auch hier ein durchaus vernünftiger Wert ist. Die Messung 4 mit dem Trafo zeigt noch etwas anderes: Sowohl L_x als auch C_y stimmen sehr gut mit den Werten aus 5.1 überein. Das liegt daran, daß L₃ sehr klein verglichen mit L_x ist.

Zum negativen Wert der Messung 9 gilt ebenfalls das in 5.4 gesagte.

Tendenziell scheint diese Meßvorschrift die etwas besseren Ergebnisse zu liefern. Die Werte von L₃ liegen näher an den nominellen Werten dran. Aber auch hier muß als Fazit festgehalten werden, daß die gewählte Konfiguration zur Messung von Kapazitäten parallel zu L_x nicht geeignet ist, vor allem wenn L_x von der selben Größenordnung wie L₃ ist. Ist jedoch L_x < L₃ so wirkt sich eine parasitäre Kapazität kaum noch auf das Ergebnis von L_x aus, wie die Messungen 10 im Vergleich zu 3 zeigen. C_y bleibt aber trotzdem wertlos.

Kapazitäten können wir auf zwei Wegen messen. Einmal können wir wieder auf einen Schwingkreis zurückgreifen, bei dem wir den Wert der Induktivität kennen und aus der gemessenen Frequenz auf die Kapazität rückschließen können. Die bereits mehrfach zitierte Thomsonsche Schwingungsformel wird dazu einfach nach C aufgelöst und man erhält:

Alternativ wird zur Messung der Kapazität der gute alte Timer NE555 (z.B. [6]) verwendet, der von vielen Herstellern angeboten wird. Er kennt zwei Betriebsarten, wobei in diesem Einsatzfall er als sogenannter monostabiler Multivibrator, auch bekannt als Monoflop, betrieben wird. Grundidee ist, daß die Ladezeit (oder auch Entladezeit) eines Kondensators in einem formelmäßigen Zusammenhang mit seiner Kapazität steht.

6.1 Die C-Messung basierend auf einem Schwingkreis

Da wir auch hier wieder sehr kleine Kapazitäten C_x messen wollen, folgen wir der selben Strategie wie bei der Messung kleiner Induktivitäten L_x. Ähnlich, wie dort die Serienschaltung aus L_x und L₃ sicherstellt, daß die Induktivität im Schwingkreis einen Minimalwert, nämlich den von L₃, nicht unterschreitet, wird hier durch Parallelschaltung von C_x und C₁₃ erreicht, daß die Kapazität nicht unter den Wert von C₁₃ fällt. Die Schwingfrequenz im Schwingkreis wird daher nicht über rund 1 MHz liegen. Im folgenden als Wiederholung nochmal der relevante Ausschnitt aus dem Schaltplan.

Wir hatten bei der L-Messung immer die parasitären Kapazitäten der Induktivität und des Schaltungsaufbaus durch C_y ausgedrückt und versucht, diesen Wert zu bestimmen. Da wir uns bei der C-Messung nicht weiter dafür interessieren, schlagen wir sie einfach dem Kondensator C₁₃ zu.

Die Größen C_x, L₃ und C₁₃ sind als unbekannt zu betrachten. Es müssen also minimal drei Frequenzmessungen durchgeführt werden, bei denen der Schwingkreis so zu konfigurieren ist, daß drei Gleichungen dabei entstehen. Die folgende Aufstellung zeigt eine Möglichkeit:

Damit ist C₁₅ derjenige Kondensator, dessen Genauigkeit direkt in das Meßergebnis einfließt. Sein Wert muß daher so genau wie möglich bekannt sein. Die folgenden Formeln geben an, wie aus den gemessenen Frequenzen neben L₃ und C₁₃ vor allem die zu bstimmende Kapazität C_x zu berechnen ist.

Alternativ besteht auch hier wieder die Möglichkeit - wie bei der Messung der Induktivitäten - die dritte Frequenzmessung mit zugeschaltetem Kondensator C₁₅ durchzuführen. Die Frequenz in dieser Konfiguration bezeichnen wir hier mit f₄.

Die Werte von C₁₃ und L₃ berechnen sich genau so wie vorher; nur bei der Berechnung von C_x erfolgt deutlich anders.

Elegant wäre es, den Kondensator C_x über ein Relais unter der Kontrolle des Microcontrollers zuzuschalten. Das wurde aber nicht vorgesehen, so daß die Bedienung des LC-Meters in diesem Meßmodus ein wenig anders erfolgt. Man muß manuell festlegen, ob man gerade die f₁ und f₂-Messung ohne C_x durchführt, oder die eigentliche f₃ bzw. f₄-Messung mit C_x.

Die parasitären Kapazitäten einer Induktivität liegen in einer Größenordnung, die das LC-Meter leicht bestimmen kann und deren Nichtberücksichtigung das Meßergebnis deutlich beeinträchtigen kann. Das Gegenstück bei der Kapazitäsmessung wären demnach parasitäre Induktivitäten, die unter anderem von den Zuleitungen kommen können. Wir werden solche Induktivitäten, die zumeist unter 1 μH liegen;, nicht weiter berücksichtigen.

6.2 Die C-Messung basierend auf der Messung der Ladezeit (NE555)

Der NE555 (auch als LM555 bekannt) [6] ist ein immer wieder gern genommener Baustein, wenn es darum geht, mittels eines Widerstandes und eines Kondensators eine Impulslänge festzulegen. Genau so wird der Baustein auch hier verwendets wobei er in der monostable operation betrieben wird (monostabiler Multivibrator, Monoflop). Das folgende Bild zeigt den wesentlichen Schaltungsauszug so weit er zum Verständnis relevant ist.

Ein Übergang von High nach Low am Triggereingang TR (Pin 2) bewirkt, daß der Ausgang Q (Pin 3) auf High wechselt. Abhängig von der Dimensierung der zeitbestimmenden Bauteile bleibt der Ausgang für die Zeit Δt auf High bevor er wieder auf Low wechselt. Der Triggerimpuls sollte dabei deutlich kürzer als Δt sein. Die Bauteile, die die Zeit Δt bestimmen, sind

• der unbekannte Kondensator C_x, der an die Anschlüsse X5 und X6 angeschlossen wird,
• der Kondensator C₁₇, der über K3 zugeschaltet werden kann und dann parallel zu C_x liegt,
• einer der drei Widerstände R₁₀, R₁₁, R₁₂.

Ganz allgemein berechnet sich die Impulsdauer Δt gemäß folgender Formel:

Das heißt, die Kapazität C ist direkt proportional zur gemessenen Zeit Δt und hängt sonst nur noch vom Wert des Widerstandes R ab. Somit kann die Kapazitätsmessung auf eine Widerstandsmessung (und natürlich eine Zeitmessung) zurückgeführt werden. Der Faktor ln3, dessen Wert ungefähr 1,1 ist, rührt daher, daß der Kondensator C bis auf 2/3 der Betriebsspannung aufgeladen wird. Löst man nach C auf, so erhält man:

Die Kapazität C setzt sich - nicht unerwartet - aus mehreren Teilkapazitäten zusammen: Zunächst natürlich aus der unbekannte Kapazität C_x, die zu messen ist, dann aus der parasitäre Kapazitäten C_y die vor allem vom Layout und der Verkabelung herrühren und optional aus der Kapazität C₁₇.

Der Faktor ln3, dessen Wert ungefähr 1,1 ist, rührt daher, daß der Kondensator C bis auf 2/3 der Betriebsspannung aufgeladen wird.

6.3 Ein paar Beispiele

Im folgenden werden ein paar Beispiele vorgestellt, die wiederum die Tauglichkeit der Messungen belegen sollen

Die höchste messbare Kapazität liegt bei ungefähr 330 nF. 470 nF führen bereits zu unsinnigen Resultaten. Beide Varianten liefern praktisch identische Messwerte. Eine zugeschaltete Induktivität führt zu einer Erhöhung der Kapazität; in der zweiten Variante fällt sie aber nicht so groß aus, wie in der ersten. Die Messung mittels NE555 zeigt keine Abhängigkeit von einer vorhandenen Serieninduktivität.

Endlich ist es so weit. Wir sind am Ziel. Wobei zugegebenermaßen das Kapitel über die Kapazitätsmessung keinen weiteren Beitrag zur urspürunglichen Frage - nämlich wie groß ist der Kopplungsfaktor zweier Wicklungen auf einem gemeinsamen Kern - geleistet hat. Gemessen wurden

1. Eine Mittelwellenspule (bezeichnet mit L) aus dem Kosmo Experimentierkasten Elektroniklabor XG (Siebziger Jahre) ohne Kern.
2. wie zuvor, jedoch mit Kern
3. Ein Wicklungspaar für Mittelwellenempfang auf einem Ferritstab
4. Ein Wicklungspaar für Langwellenempfang auf einem Ferritstab
5. Zum Zeitpunkt der Aufbereitung dieses Artikels liegt mir leider kein Ringkern, wie eingangs genannt mehr vor. Daher kann ich dazu keine Ergebnisse mehr vorstellen.

Das Bild zeigt die Teile im Detail. Oben die Spule aus dem Experimentierkasten, darunter der Ferritstab auf dessen linker Seite die Langwellenspulen und auf dessen rechter Seite die Mittelwellenspulen angeordnet sind. Gemessen wurden jeweils die Induktivitäten der einzelnen Wicklungen L₁ und L₂ sowie die Induktivitäten der Serienschaltung L_x und der Antiserienschaltung L_y. Berechnet wurde dann gemäß

der Kopplungsfaktor k und die Gegeninduktivität M. Die folgende Tabelle führt die Ergebnisse aus.

Den Ergebnissen kann man folgende einfache Erkenntnisse entnehmen:

• Ein Kern erhöht den Kopplungsfaktor (Messung 1 und 2)
• Mittelwellenspulen sind im Grunde doch recht ähnlich aufgebaut (Messung 2 und 3)
• Liegen die Wicklungen übereinander, so ist der Kopplungsfaktor größer, als wenn sie nebeneinanderliegen (Messung 3 und 4)

Nachdem die bisherigen Kapitel einige theoretische und grundsätzuliche Aspekte der Meßtechnik beleuchtet haben, soll jetzt der Schwerpunkt auf das Coding gelenkt werden. Der Prototyp wurde wurde in C implementiert und findet leicht im Flash-Speicher des Atmel ATmega163 Platz. Dieser Typ ist heute veraltet; eine Implementierung in einem aktuellen ATmega16x sollte - bis auf eventuell leicht abweichende Register- oder Interruptnamen - kein Problem darstellen. Als Entwicklungsumgebung wurde das AVRStudio 4.15 [8] zusammen mit dem GNU-C-Compiler 4.2.2 aus WinAVR-Suite [9] und der avr-libc in der Version 1.6.0 [10]] benutzt. Die Programmierung erfolgte über das Starter-Kit STK500 [11] im SPI-Mode. Der gesamte Quellcode ist unter [12] nachzulesen. Im folgenden werden einige wichtige Teilaspekte behandelt.

8.1 Frequenzmessung

Alle hier vorgestellten Kapazitäts- und Induktivitätsmessungen, denen ein Schwingkreis zugrunde liegt, basieren auf der Messung von Frequenzen. Damit ist dies die Hauptaufgabe, die der ATmega163 zu erfüllen hat. Frequenzmessungen können grundsätzlich auf zwei Arten erfolgen: Messung der Periodendauer einer Schwingung und Zählen der Schwingungen während eines vorgegebenen Zeitintervalls. Hier wird der zweite Ansatz verfolgt, weil Periodendauermessungen nur im Bereich unter einigen kHz sinnvoll sind, während hier bei den L- und C-Messungen Frequenzen ab ca. 10 kHz bis zu rund 1 MHz zu erwarten sind.

Wir benötigen also zwei Timer/Counter. Einer (Timer/Counter 2) wird als Timer konfiguriert während der andere (Timer/Counter 1) als Zähler (Counter) verwendet wird.

#include <avr/interrupt.h>
 
volatile uint32_t CNT;                           // the global counter
volatile uint8_t ready;                          // 0:counting; 1: ready
uint8_t n_CNT;                                   // number of measurements executed
double t_gate;                                   // the gate-time
#define TF 200                                   // value for timer - ca. 51 ms
 
// the timer2-compare interrupt
ISR(TIMER2_COMP_vect) {
        uint16_t l,h;
 
        TCCR1B = 0;                              // stop counter
        TCCR2 = 0;                               // stop timer
 
        l = TCNT1L;                              // read counter and ...
        h = TCNT1H;
        CNT = CNT + l + (h << 8);                // ... add to global counter
 
        ready=1;                                 // notify main program
        }
 
// measure one time the current frequency
void Measure_1(void) {
 
        cli();                                   // disable interrupts
 
        TCCR1A = 0x00;                           // setup timer/counter 1 as counter
        TCCR1B = 0x00;
 
        TCNT1H = 0;                              // clear timer/counter registers
        TCNT1L = 0;
 
        TCCR2 = 0x00;                            // setup timer/counter 2 as timer
        OCR2 = TF;                               // set timer to ca. 51 ms
        TCNT2 = 0;                               // clear timer register
 
        sbi(SFIOR,PSR2);                         // Resest Timer Prescaler
        TCCR1B = 0x06;                           // start counter
        TCCR2 = 0x07;                            // start timer
 
        ready = 0;
        sbi(TIMSK,OCIE2);                        // timer2-compare interrupt on
        sbi(TIFR,OCF2);                          // terminate active interrupts, if existing
        sei();                                   // enable interrupts
 
        while (ready==0) idle();                 // wait and do something else until measurement is complete
        n_CNT++;                                 // increment number of measurements executed
 
        cbi(TIMSK,OCIE2);                        // timer2-compare interrupt off
        }
 
// execute the frequency measuremnt n times
double Measure_M(uint8_t n) {
        double f;
 
        CNT = 0;                                 // reset the global counter
        n_CNT = 0;                               // reset the counter for number of measurements executed
        while (n_CNT&lt;n) Measure_1();             // execute n single measurements
        cli();                                   // no more interrupts
        f=(double)CNT/((double)n*t_gate);        // divide total counts by total gate time
        return f;                                // that's it
        }

Neben den Deklarationen, die hier nur auszugsweise dargestellt sind, folgt der Interrupt-Behandler für den Timer-2-Interrupt, die Prozedur zur Durchführung einer einzelnen Messung und die Funktion zur Messung der Frequenz basierend auf mehreren Einzelmessungen. Die Konstante TF (Torzeit) wurde so gewählt, daß bei einer zu messenden Frequenz von 1 MHz noch keine Gefahr besteht, daß der Zähler überläuft. Innerhalb etwa 40 ms wird ein Zählerstand von 40000 erreicht, was noch weit genug vom höchstmöglichen Wert 65535 ist.

Tritt der Interrupt auf, so wird als allererstes der Zähler und danach der Timer angehalten. Das Ergebnis des Zählers wird ausgelesen und zum globalen Zähler addiert. Führt man auf diese Art mehrere Messungen aus, so kann die effektive Torzeit auf ganzzahlige Vielfache von etwa 40 ms erhöht werden, was vor allem bei niedrigeren Frequenzen die Genauigkeit erhöht. Danach wird dem Hauptprogramm signalisiert, daß der Interrupt abgearbeitet wurde.

Das Prozedur, die genau eine Messung durchführt, initialisiert im wesentlichen die relevanten Register der beiden Timer/Counter für die nächste Messung und wartet, nachdem timer und counter gestartet wurden, auf das Ende des Interrupts. Dazu wird die Prozedur idle() aufgerufen, in der sinnvolle Dinge durchgeführt werden können. Nach einer Einzelmessung wird der Zähler für die Anzahl der Messungen aktualisiert.

Die Messung der Frequenz wird von der Funktion Measure_M durchgeführt deren Parameter die Anzahl der Einzelmessungen angibt und deren Rückgabewert die gemessene Frequenz in Hz ist.

8.2 Impulsdauermessung

Die Messung der Kapazität mit dem NE555 basiert darauf, daß die Länge eines Impulses zu messen ist. Während also bei der Frequenzmessung die Torzeit vorgegeben ist und die Anzahl der Impulse in dieser Zeit gezählt werden, ist es bei der Impulsdauermessung umgekehrt. Die Frequenz der zu zählenden Impulse ist fest und die Impulsdauer, die dann der Torzeit entspricht, ist variabel.

// the timer1-capture interrupt
ISR(TIMER1_CAPT_vect) {
        uint16_t l,h;
 
        TCCR1B = 0;                              // stop timer
 
        l = TCNT1L;                              // read counter and ...
        h = TCNT1H;
 
        CNT = CNT + l + (h << 8);                // ... add to global counter
        ready = 1;                               // notify main program
        }
 
// measure one time the pulse length of the NE555
void Measure_555_1(void) {
        cli();                                   // disable all interrupts
        TCCR1A = 0x00;                           // prepare timer 1 and ...
        TCCR1B = 0;                              // ... stop timer 1
 
        TCNT1H = 0;                              // set timer1 count value to 0
        TCNT1L = 0;
 
        ready = 0;                               // clear the ready status
        sbi(TIFR,ICF1);                          // terminate active interrupts, if existing
        sbi(TIMSK,TICIE1);                       // timer1-capture Interrupt on
 
        sbi(SFIOR,PSR10);                        // reset prescaler
        TCCR1B=0x01;                             // start Timer 1
 
        cbi(PORTD,5);                            // start NE555
        sei();                                   // enable interrupts
        sbi(PORTD,5);                            // return to high level
 
        while (ready==0) idle();                 // wait until ready
 
        n_CNT++;                                 // this was one more measurement
        cbi(TIMSK,TICIE1);                       // timer1-capture Interrupt off
        }
 
// execute the pulse length measurement n times
double Measure_555_N(uint8_t n) {
        double t;
        CNT = 0;                                 // reset the global counter
        n_CNT = 0;                               // reset the counter for number of measurements executed
        while (n_CNT&lt;n) Measure_555_1();         // execute n single measurements
        cli();                                   // no more interrupts
        t=(double)CNT/((double)F_CPU*(double)n); // divide total counts by CPU-frequency and number of measurements
        return t;                                // that's it
        }

Die Deklarationen sind die selben wie für die Frequenzmessung. Daher wird sie hier nicht wiederholt dargestellt. Hier haben wir einen anderen Interrupt-Behandler, der immer dann ausgeführt wird, wenn der Puls des NE555 zurück auf Low wechselt.

• [1] :Die Vorlage zu diesem Projekt
• [2]: Atmel: Datenblatt: ATmega163 (PDF)
• [3]: Schaltplan und Board
• [4]: CadSoft
• [5]: beispielsweise National: Datenblatt: LM311
• [6]: beispielsweise National: Datenblatt: LM555
• [7]: Ein paar Ergänzungen
• [8]: Atmel: AVR-Studio 4
• [9]: WinAVR-Suite
• [10]: AVR Libc
• [11]: Atmel: Starter Kit STK500
• [12]: Der gesamte Source-code zum LC-meter-Projekt